theMASK
v.20210921, php: 7.1.33, strona: 41

theMASK

Ulubione

Wielomiany - pierwiastki

Pierwiastki wielomianu

Def. Liczbę p nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(p) = 0.

Tw. Jeżeli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p, to liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). 

Tw. Jeżeli liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) to wielomian W(X) jest podzielny przez dwumian x-p

Tw. Bezout: Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p wtedy i tylko wtedy, gdy liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Twierdzenie Bezout możemy stosować do rozkładu na czynniki wielomianów stopnia n wyższego niż drugi pod warunkiem, że wielomian ma pierwiastki wymierne. Stosowanie tej metody jest pracochłonne i nie zawsze prowadzi do celu.

Pierwiastki całkowite

Tw. Jeżeli wielomian W(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego a_{0}.


Pierwiastki wymierne

Pierwiastkami wielomianu mogą też być liczby wymierne w postaci ułamka nieskracalnego frac{p}{q}

Tw. Jeżeli wielomian W(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} stopnia n o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego frac{p}{q}, tzn. x=frac{p}{q}, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a_{0}, q zaś dzielnikiem wyrazu a_{n}.


Rozkład na czynniki

Def. Rozłożyć wielomian na czynniki to znaczy przedstawić go jako iloczyn wielomianów stopnia n różnego od zera (niezerowego).

Tw. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych.

W rozkładzie wielomianu na czynniki korzystamy z:
  • postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego,
  • wzorów skróconego mnożenia,
  • wyłączania wspólnego czynnika przed nawias,
  • grupowania wyrazów,
  • twierdzenia Bezout.

Komentarze:
autor: Leszek, sekcja: Matematyka, kategoria: liceum, publikacja: 1998-01-01 - 2099-12-31

×

Zaplecze: administratora

×

×

Szukaj

×