theMASK
v.20210921, php: 7.1.33, strona: 41

theMASK

Ulubione

Wyrażenia wymierne - nierówności

WYRAŻENIE WYMIERNE- iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych.

NIERÓWNOŚCI

KROK 1: Przed przystąpieniem do rozwiązywania równań wymiernych koniecznie należy określić Dziedzinę równania, czyli te wartości dla których równanie jest określone (ma sens liczbowy). Przykłady,  zapisu dziedziny (przy założeniu, że są to liczby rzeczywiste i musimy wyrzucić z dziedziny liczbę -2 i 1):

  • small small D=left { x: xin Rwedge x
eq -2wedge x
eq 1 
ight }
  • small D:x
eq -2wedge x
eq 1
  • small D=Rsetminus left { -2,1 
ight }
  • small xin (-infty ,-2)cup (-2,1)cup(1,+infty)
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które wyrzucasz z Dziediny oddzielać znakiem koniunkcji tzn. small wedge (i).
 
KROK 2: Przystępujemy do rozwiazania równania, np: 
small frac{2}{x+2}leqslant frac{x}{x-1} /cdot (x+2)^{2}cdot (x-1)^{2}, obie strony równania mnożymy przez kwadraty! czynników wspólnego mianownika (UWAGA! przy nierównościach zawsze mnożymy przez kwadrat mianownika, ponieważ musimy mieć pewność, że mnożona liczba będzie dodatnia i nie zmieni nam znaku nierówności).
small 2cdot (x+2)(x-1)^{2}leqslant xcdot (x+2)^{2}cdot (x-1)
small -x^{4}-x^{3}-2x+4leqslant 0, mnożymy obie strony przez (-1)
small x^{4}+x^{3}+2x-4geqslant 0
odnajdujemy pierwiastki ww. wielomianu stopnia 4:
small x_{1}=1vee x_{2}=-2
po wykonaniu dzielenia wielomianów: small (x^{4}+x^{3}+2x-4):[(x-1)(x+2)] otrzymujemy wielomian small (x^{2}+2), który nie posiada pierwiastków, stąd jedynymi pierwiastkami są: small x_{1}=1vee x_{2}=-2
 
KROK 3: rysujemy uproszczony wykres, porównujemy rozwiązania z Dziedziną i określamy rozwiązanie nierówności (przedziały spełniające nierówność).
W pierwszej kolejności wyodrębnij z nierówności składnik z najwyższą potęgą (pozwoli on określić położenie wykresu na krańcach przedziału (tj w small -infty oraz small +infty):
small x^{4}+...geqslant 0
  • sprawdź wartość dla bardzo małej wartości (np. -1000000) i podstaw do ww. wyodrębnionego składnika small x^{4} i zobacz jaką wartość otrzymuje (w naszym przypadku jest dodatnia - na rysunku punkt A - leży nad osią X),
  • sprawdź wartość dla bardzo dużej wartości (np. +1000000) i podstaw do ww. wyodrębnionego składnika small x^{4} i zobacz jaką wartość otrzymuje (w naszym przypadku jest dodatnia - na rysunku punkt B - leży nad osią X),
w ten sposób będziemy mogli oszacować gdzie wykres się zaczyna, a gdzie kończy (czyli jak go narysować):
Następnie zaczynamy rysować wykres od lewej strony (mniej więcej od punku A i dochodzimy do pierwszego miejsca zerowego (jeśli pierwiastek ten jest nieparzystokrotny - wykres przejdzie przez punkt, jeśli pierwiastek jest parzystokrotny wykres dotknie pierwiastka i odbije się od niego), następnie docieramy do kolejnego miejsca zerowego (postępuj jak przy poprzednim pierwiastku), a następnie kończymy gdzieś w okolicach punktu B.

Sprawdzamy założenia Dziedziny i wyłączamy z rozwiązania punkty: small x=1wedge x=-2, następnie zapisujemy rozwiązanie nierówności (w naszym przypadku wyszukujemy te fragmenty wykresu które leżą na osi i ponad nią):
 
large xin (-infty,-2)cup(1,+infty)

Komentarze:
autor: Leszek, sekcja: Matematyka, kategoria: liceum, publikacja: 1998-01-01 - 2099-12-31

×

Zaplecze: administratora

×

×

Szukaj

×