theMASK
v.20210228, php: 7.1.33, strona: 63

theMASK

Ulubione

Artykuły: otwarte

Wielomiany

Pojęcie Wielomian, być może nie jest ci znane, ale już się z nim spotkałeś, chociażby przy funkcji liniowej czy kwadratowej zwanej inaczej trójmianem kwadratowym.  Wielomiany składają się z tzw. jednomianów połączonych ze sobą znakiem dodawania lub odejmowania. To właśnie złączenia kilku jednomianów tworzy Wielomian, np.:
  • f(x) = 2x+1 - wielomian stopnia "pierwszego" - funkcja liniowa
  • f(x) = x^{2}+2x+1 - wielomian stopnia "drugiego" - funkcja kwadratowa
  • f(x) = x^{3}-x^{2}+2x+1 - wielomian stopnia "trzeciego"

Ale, po kolei:

Def. Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest iloczynem liczb i liter lub iloczynem liter lub pojedynczą liczbą.


3, -12, 2sqrt{5}, 2x, -4x^{3}, x^{5}, a^{2}b - przykłady wielomianów

5(x-1), frac{a}{y}, frac{3x}{x+1}, (x-2)^{2} - to NIE! są jednomiany

Def. Wielomianem zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} , gdzie a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1},a_{0} in R wedge nin N wedge xin R.

Def. Stopniem wielomianu jednej zmiennej postaci ax^{n}, nazywamy wykładnik potęgi zmiennej x, w którym współczynnik liczbowy a
eq 0. Inaczej: stopniem wielomianu jednej zmiennej x jest wartość największej potęgi zmiennej x występującej w wielomianie.

np. w wielomianie W(x) = x^{7}+2x^{2}+11, stopień wielomianu wynosi: 7.

Def. Stopniem wielomianu wielu zmiennych nazywamy najwyższy stopień jednomianu, który jest wyrazem o współczynniku różnym od zera.


Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-03-06 11:10:02

Wielomiany

Pojęcie Wielomian, być może nie jest ci znane, ale już się z nim spotkałeś, chociażby przy funkcji liniowej czy kwadratowej zwanej inaczej trójmianem kwadratowym.  Wielomiany składają się z tzw. jednomianów połączonych ze sobą znakiem dodawania lub odejmowania. To właśnie złączenia kilku jednomianów tworzy Wielomian, np.:
  • f(x) = 2x+1 - wielomian stopnia "pierwszego" - funkcja liniowa
  • f(x) = x^{2}+2x+1 - wielomian stopnia "drugiego" - funkcja kwadratowa
  • f(x) = x^{3}-x^{2}+2x+1 - wielomian stopnia "trzeciego"

Ale, po kolei:

Def. Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest iloczynem liczb i liter lub iloczynem liter lub pojedynczą liczbą.


3, -12, 2sqrt{5}, 2x, -4x^{3}, x^{5}, a^{2}b - przykłady wielomianów

5(x-1), frac{a}{y}, frac{3x}{x+1}, (x-2)^{2} - to NIE! są jednomiany

Def. Wielomianem zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci W(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} , gdzie a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1},a_{0} in R wedge nin N wedge xin R.

Def. Stopniem wielomianu jednej zmiennej postaci ax^{n}, nazywamy wykładnik potęgi zmiennej x, w którym współczynnik liczbowy a
eq 0. Inaczej: stopniem wielomianu jednej zmiennej x jest wartość największej potęgi zmiennej x występującej w wielomianie.

np. w wielomianie W(x) = x^{7}+2x^{2}+11, stopień wielomianu wynosi: 7.

Def. Stopniem wielomianu wielu zmiennych nazywamy najwyższy stopień jednomianu, który jest wyrazem o współczynniku różnym od zera.


Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-03-06 11:10:02

Wyrażenia wymierne - nierówności

WYRAŻENIE WYMIERNE- iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych.

NIERÓWNOŚCI

KROK 1: Przed przystąpieniem do rozwiązywania równań wymiernych koniecznie należy określić Dziedzinę równania, czyli te wartości dla których równanie jest określone (ma sens liczbowy). Przykłady,  zapisu dziedziny (przy założeniu, że są to liczby rzeczywiste i musimy wyrzucić z dziedziny liczbę -2 i 1):

  • small small D=left { x: xin Rwedge x
eq -2wedge x
eq 1 
ight }
  • small D:x
eq -2wedge x
eq 1
  • small D=Rsetminus left { -2,1 
ight }
  • small xin (-infty ,-2)cup (-2,1)cup(1,+infty)
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które wyrzucasz z Dziediny oddzielać znakiem koniunkcji tzn. small wedge (i).
 
KROK 2: Przystępujemy do rozwiazania równania, np: 
small frac{2}{x+2}leqslant frac{x}{x-1} /cdot (x+2)^{2}cdot (x-1)^{2}, obie strony równania mnożymy przez kwadraty! czynników wspólnego mianownika (UWAGA! przy nierównościach zawsze mnożymy przez kwadrat mianownika, ponieważ musimy mieć pewność, że mnożona liczba będzie dodatnia i nie zmieni nam znaku nierówności).
small 2cdot (x+2)(x-1)^{2}leqslant xcdot (x+2)^{2}cdot (x-1)
small -x^{4}-x^{3}-2x+4leqslant 0, mnożymy obie strony przez (-1)
small x^{4}+x^{3}+2x-4geqslant 0
odnajdujemy pierwiastki ww. wielomianu stopnia 4:
small x_{1}=1vee x_{2}=-2
po wykonaniu dzielenia wielomianów: small (x^{4}+x^{3}+2x-4):[(x-1)(x+2)] otrzymujemy wielomian small (x^{2}+2), który nie posiada pierwiastków, stąd jedynymi pierwiastkami są: small x_{1}=1vee x_{2}=-2
 
KROK 3: rysujemy uproszczony wykres, porównujemy rozwiązania z Dziedziną i określamy rozwiązanie nierówności (przedziały spełniające nierówność).
W pierwszej kolejności wyodrębnij z nierówności składnik z najwyższą potęgą (pozwoli on określić położenie wykresu na krańcach przedziału (tj w small -infty oraz small +infty):
small x^{4}+...geqslant 0
  • sprawdź wartość dla bardzo małej wartości (np. -1000000) i podstaw do ww. wyodrębnionego składnika small x^{4} i zobacz jaką wartość otrzymuje (w naszym przypadku jest dodatnia - na rysunku punkt A - leży nad osią X),
  • sprawdź wartość dla bardzo dużej wartości (np. +1000000) i podstaw do ww. wyodrębnionego składnika small x^{4} i zobacz jaką wartość otrzymuje (w naszym przypadku jest dodatnia - na rysunku punkt B - leży nad osią X),
w ten sposób będziemy mogli oszacować gdzie wykres się zaczyna, a gdzie kończy (czyli jak go narysować):
Następnie zaczynamy rysować wykres od lewej strony (mniej więcej od punku A i dochodzimy do pierwszego miejsca zerowego (jeśli pierwiastek ten jest nieparzystokrotny - wykres przejdzie przez punkt, jeśli pierwiastek jest parzystokrotny wykres dotknie pierwiastka i odbije się od niego), następnie docieramy do kolejnego miejsca zerowego (postępuj jak przy poprzednim pierwiastku), a następnie kończymy gdzieś w okolicach punktu B.

Sprawdzamy założenia Dziedziny i wyłączamy z rozwiązania punkty: small x=1wedge x=-2, następnie zapisujemy rozwiązanie nierówności (w naszym przypadku wyszukujemy te fragmenty wykresu które leżą na osi i ponad nią):
 
large xin (-infty,-2)cup(1,+infty)

Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-02-18 12:05:04

Wyrażenia wymierne - nierówności

WYRAŻENIE WYMIERNE- iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych.

NIERÓWNOŚCI

KROK 1: Przed przystąpieniem do rozwiązywania równań wymiernych koniecznie należy określić Dziedzinę równania, czyli te wartości dla których równanie jest określone (ma sens liczbowy). Przykłady,  zapisu dziedziny (przy założeniu, że są to liczby rzeczywiste i musimy wyrzucić z dziedziny liczbę -2 i 1):

  • small small D=left { x: xin Rwedge x
eq -2wedge x
eq 1 
ight }
  • small D:x
eq -2wedge x
eq 1
  • small D=Rsetminus left { -2,1 
ight }
  • small xin (-infty ,-2)cup (-2,1)cup(1,+infty)
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które wyrzucasz z Dziediny oddzielać znakiem koniunkcji tzn. small wedge (i).
 
KROK 2: Przystępujemy do rozwiazania równania, np: 
small frac{2}{x+2}leqslant frac{x}{x-1} /cdot (x+2)^{2}cdot (x-1)^{2}, obie strony równania mnożymy przez kwadraty! czynników wspólnego mianownika (UWAGA! przy nierównościach zawsze mnożymy przez kwadrat mianownika, ponieważ musimy mieć pewność, że mnożona liczba będzie dodatnia i nie zmieni nam znaku nierówności).
small 2cdot (x+2)(x-1)^{2}leqslant xcdot (x+2)^{2}cdot (x-1)
small -x^{4}-x^{3}-2x+4leqslant 0, mnożymy obie strony przez (-1)
small x^{4}+x^{3}+2x-4geqslant 0
odnajdujemy pierwiastki ww. wielomianu stopnia 4:
small x_{1}=1vee x_{2}=-2
po wykonaniu dzielenia wielomianów: small (x^{4}+x^{3}+2x-4):[(x-1)(x+2)] otrzymujemy wielomian small (x^{2}+2), który nie posiada pierwiastków, stąd jedynymi pierwiastkami są: small x_{1}=1vee x_{2}=-2
 
KROK 3: rysujemy uproszczony wykres, porównujemy rozwiązania z Dziedziną i określamy rozwiązanie nierówności (przedziały spełniające nierówność).
W pierwszej kolejności wyodrębnij z nierówności składnik z najwyższą potęgą (pozwoli on określić położenie wykresu na krańcach przedziału (tj w small -infty oraz small +infty):
small x^{4}+...geqslant 0
  • sprawdź wartość dla bardzo małej wartości (np. -1000000) i podstaw do ww. wyodrębnionego składnika small x^{4} i zobacz jaką wartość otrzymuje (w naszym przypadku jest dodatnia - na rysunku punkt A - leży nad osią X),
  • sprawdź wartość dla bardzo dużej wartości (np. +1000000) i podstaw do ww. wyodrębnionego składnika small x^{4} i zobacz jaką wartość otrzymuje (w naszym przypadku jest dodatnia - na rysunku punkt B - leży nad osią X),
w ten sposób będziemy mogli oszacować gdzie wykres się zaczyna, a gdzie kończy (czyli jak go narysować):
Następnie zaczynamy rysować wykres od lewej strony (mniej więcej od punku A i dochodzimy do pierwszego miejsca zerowego (jeśli pierwiastek ten jest nieparzystokrotny - wykres przejdzie przez punkt, jeśli pierwiastek jest parzystokrotny wykres dotknie pierwiastka i odbije się od niego), następnie docieramy do kolejnego miejsca zerowego (postępuj jak przy poprzednim pierwiastku), a następnie kończymy gdzieś w okolicach punktu B.

Sprawdzamy założenia Dziedziny i wyłączamy z rozwiązania punkty: small x=1wedge x=-2, następnie zapisujemy rozwiązanie nierówności (w naszym przypadku wyszukujemy te fragmenty wykresu które leżą na osi i ponad nią):
 
large xin (-infty,-2)cup(1,+infty)

Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-02-18 12:05:04

Wyrażenia wymierne - równania

WYRAŻENIE WYMIERNE- iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych.

RÓWNANIA

KROK 1: Przed przystąpieniem do rozwiązywania równań wymiernych koniecznie należy określić Dziedzinę równania, czyli te wartości dla których równanie jest określone (ma sens liczbowy). Przykłady,  zapisu dziedziny (przy założeniu, że są to liczby rzeczywiste i musimy wyrzucić z dziedziny liczbę -2 i 1):

  • small small D=left { x: xin Rwedge x
eq -2wedge x
eq 1 
ight }
  • small D:x
eq -2wedge x
eq 1
  • small D=Rsetminus left { -2,1 
ight }
  • small xin (-infty ,-2)cup (-2,1)cup(1,+infty)
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które wyrzucasz z Dziediny oddzielać znakiem koniunkcji tzn. small wedge (i).
 
KROK 2: Przystępujemy do rozwiazania równania, np: 
small frac{2}{x+2}=frac{x}{x-1}, obie strony równania mnożymy przez mianowniki (w dwóch etapach: najpierw przez jeden mianowni, później przez drugi mianownik LUB od razu mnożymy na krzyż - jak przy proporcjach)
small 2(x-1)=x(x+2)
small 2x-2=x^{2}+2x
small x^{2}-2=0, dalej rozwiązujemy tak jak równanie kwadratowe (możemy użyć sposobu z Deltą, ale w tym przypadku prościej zastosować wzór skróconego mnożenia):
small (x-sqrt{2})cdot (x+sqrt{2})= 0
stąd:
small x_{1}=sqrt{2} vee x_{2}=-sqrt{2} 
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które są rozwiązaniem nierówności oddzielać znakiem alternatywy tzn. small small vee (lub).
 
KROK 3: porównujemy rozwiązania z Dziedziną i jeśli stwierdzimy, że jedno lub wszystkie rozwiązania nie należą do dziedziny - wówczas je odrzucamy jako sprzeczne z Dziedziną. Jeśli jednak tak nie jest, wówczas pierwiastki te są rozwiązaniem naszego równania.
small x_{1}=sqrt{2}in D
small x_{2}=-sqrt{2}in D
stąd, rozwiązaniem naszego równania są liczby: large xin left {-sqrt{2}, sqrt{2} 
ight }

Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-02-18 09:16:50

Wyrażenia wymierne - równania

WYRAŻENIE WYMIERNE- iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych.

RÓWNANIA

KROK 1: Przed przystąpieniem do rozwiązywania równań wymiernych koniecznie należy określić Dziedzinę równania, czyli te wartości dla których równanie jest określone (ma sens liczbowy). Przykłady,  zapisu dziedziny (przy założeniu, że są to liczby rzeczywiste i musimy wyrzucić z dziedziny liczbę -2 i 1):

  • small small D=left { x: xin Rwedge x
eq -2wedge x
eq 1 
ight }
  • small D:x
eq -2wedge x
eq 1
  • small D=Rsetminus left { -2,1 
ight }
  • small xin (-infty ,-2)cup (-2,1)cup(1,+infty)
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które wyrzucasz z Dziediny oddzielać znakiem koniunkcji tzn. small wedge (i).
 
KROK 2: Przystępujemy do rozwiazania równania, np: 
small frac{2}{x+2}=frac{x}{x-1}, obie strony równania mnożymy przez mianowniki (w dwóch etapach: najpierw przez jeden mianowni, później przez drugi mianownik LUB od razu mnożymy na krzyż - jak przy proporcjach)
small 2(x-1)=x(x+2)
small 2x-2=x^{2}+2x
small x^{2}-2=0, dalej rozwiązujemy tak jak równanie kwadratowe (możemy użyć sposobu z Deltą, ale w tym przypadku prościej zastosować wzór skróconego mnożenia):
small (x-sqrt{2})cdot (x+sqrt{2})= 0
stąd:
small x_{1}=sqrt{2} vee x_{2}=-sqrt{2} 
Uwaga! pamiętaj aby liczby, które są rozwiązaniem nierówności oddzielać znakiem alternatywy tzn. small small vee (lub).
 
KROK 3: porównujemy rozwiązania z Dziedziną i jeśli stwierdzimy, że jedno lub wszystkie rozwiązania nie należą do dziedziny - wówczas je odrzucamy jako sprzeczne z Dziedziną. Jeśli jednak tak nie jest, wówczas pierwiastki te są rozwiązaniem naszego równania.
small x_{1}=sqrt{2}in D
small x_{2}=-sqrt{2}in D
stąd, rozwiązaniem naszego równania są liczby: large xin left {-sqrt{2}, sqrt{2} 
ight }

Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-02-18 09:16:50

Funkcja kwadratowa

FUNKCJA - to odwzorowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkuje jeden i tylko jeden element zbioru Y.

Def. FUNKCJĄ KWADRATOWA nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem large y=ax^{2}+bx+c (wzór w postaci ogólnej), gdzie a
eq 0. Liczby rzeczywiste a, b, c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.


Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-02-10 21:07:02

Funkcja kwadratowa

FUNKCJA - to odwzorowanie, które każdemu elementowi zbioru X przyporządkuje jeden i tylko jeden element zbioru Y.

Def. FUNKCJĄ KWADRATOWA nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem large y=ax^{2}+bx+c (wzór w postaci ogólnej), gdzie a
eq 0. Liczby rzeczywiste a, b, c nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest zbiór liczb rzeczywistych.


Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-02-10 21:07:02

Wzory: pierwiastki





  ...

Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-01-07 15:26:38

Wzory: pierwiastki





  ...

Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-01-07 15:26:38

Wzory: wzory skróconego mnożenia

CKE-LO:


Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-01-07 15:20:38

Wzory: wzory skróconego mnożenia

CKE-LO:


Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2021-01-07 15:20:38

Statystyka: mediana, dominanta

Przykładowy zbiór liczb: 1,11,23,3,4,2,8,9,2,3
Porządkujemy rosnąco lub malejąco zbiór liczb: 1,2,2,3,3,4,8,9,11,23
  Dominanta (lub moda) to wartość, która występuje najczęściej. Jeżeli w zbiorze jest kilka liczb o takiej same wartości (ale nie występują oprócz nich inne liczby) wówczas dominanta nie występuje; jeżeli w zbiorze występują inne liczby o różnych wartościach (jak to ma miejsce w ww. przykładzie) wówczas dominantą są wszystkie liczby o największej ilości (tu: 2 i 3).
  ...

Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2020-12-10 15:55:21

Statystyka: mediana, dominanta

Przykładowy zbiór liczb: 1,11,23,3,4,2,8,9,2,3
Porządkujemy rosnąco lub malejąco zbiór liczb: 1,2,2,3,3,4,8,9,11,23
  Dominanta (lub moda) to wartość, która występuje najczęściej. Jeżeli w zbiorze jest kilka liczb o takiej same wartości (ale nie występują oprócz nich inne liczby) wówczas dominanta nie występuje; jeżeli w zbiorze występują inne liczby o różnych wartościach (jak to ma miejsce w ww. przykładzie) wówczas dominantą są wszystkie liczby o największej ilości (tu: 2 i 3).
  ...

Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2020-12-10 15:55:21

Wzory matematyczne: potęgowanie

a^{n}=acdot acdot acdot ...cdot a, nin C

a^{x}cdot a^{y}=a^{x+y}; x,yin Rwedge a>0

(a^{x})^{y}=a^{xcdot y}; x,yin Rwedge a>0

a^{x}cdot b^{x}=(acdot b)^{x}; x,yin Rwedge a>0wedge b>0

frac{a^{x}}{b^{x}}=left (frac{a}{b}
ight )^{x}; xin Rwedge a>0 wedge b>0

frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}; x,yin Rwedge a>0

a^{0}; a
eq 0

a^{-1} = frac{1}{a^{1}}; a
eq 0

a^{-n} = frac{1}{a^{n}}; a
eq 0 wedge nin N

a^{frac{m}{n}} = left ( sqrt[n]{a} 
ight )^{m} = sqrt[n]{a^{m}}; a>0 wedge nin N wedge n>1 wedge min C


Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2019-04-21 00:06:34

Wzory matematyczne: potęgowanie

a^{n}=acdot acdot acdot ...cdot a, nin C

a^{x}cdot a^{y}=a^{x+y}; x,yin Rwedge a>0

(a^{x})^{y}=a^{xcdot y}; x,yin Rwedge a>0

a^{x}cdot b^{x}=(acdot b)^{x}; x,yin Rwedge a>0wedge b>0

frac{a^{x}}{b^{x}}=left (frac{a}{b}
ight )^{x}; xin Rwedge a>0 wedge b>0

frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}; x,yin Rwedge a>0

a^{0}; a
eq 0

a^{-1} = frac{1}{a^{1}}; a
eq 0

a^{-n} = frac{1}{a^{n}}; a
eq 0 wedge nin N

a^{frac{m}{n}} = left ( sqrt[n]{a} 
ight )^{m} = sqrt[n]{a^{m}}; a>0 wedge nin N wedge n>1 wedge min C


Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2019-04-21 00:06:34

Funkcje: badanie funkcji

Przy badaniu funkcji na ogół określamy:

  • dziedzinę funkcji - Df (te argumenty, dla których funkcja ma sens liczbowy)
  • przeciwdziedzinę funkcji (zbiór wartości funkcji) - Pf
  • miejsca zerowe
  • zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są dodatnie
  • zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne
  • przedziały, w których funkcja jest rosnąca
  • przedziały, w których funkcja jest malejąca
  • wartość największą
  • wartość najmniejszą
  • parzystość funkcji
  • różnowartościowość (istnienie funkcji odwrotnej)

Więcej
Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2012-04-17 00:07:28

Funkcje: badanie funkcji

Przy badaniu funkcji na ogół określamy:

  • dziedzinę funkcji - Df (te argumenty, dla których funkcja ma sens liczbowy)
  • przeciwdziedzinę funkcji (zbiór wartości funkcji) - Pf
  • miejsca zerowe
  • zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są dodatnie
  • zbiór argumentów, dla których wartości funkcji są ujemne
  • przedziały, w których funkcja jest rosnąca
  • przedziały, w których funkcja jest malejąca
  • wartość największą
  • wartość najmniejszą
  • parzystość funkcji
  • różnowartościowość (istnienie funkcji odwrotnej)

Więcej

Sekcja: Matematyka.liceum, data: 2012-04-17 00:07:28

×

Zaplecze: administratora

×

×

Szukaj

×

×Avatar



informacje

×